Ley de seno

La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera. En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos. La ley del Seno y la del coseno son muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo rectángulo como los discutidos en la sección de trigonometría básica.
Veamos el siguiente triángulo:

Entonces

La ley del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante. 

La ley del seno se escribirá como sigue:

Identidades trigonometricas

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Relaciones trígonométricas fundamentales

• sen² α + cos² α = 1

• sec² α = 1 + tg² α

• cosec² α = 1 + cotg² α 

 

Triangulo rectagulo

Recordemos que un Triángulo Rectángulo es aquel que

está constituido por dos lados (Opuesto y Adyacente),

Hipotenusa y forma un ángulo de 90 grados (90°)

En el Diagrama se simbología asignada para cada variable:

El Lado c es opuesto al ángulo α   (Alfa)
El Lado b  es opuesto al ángulo β (Beta)  
El Lado a es opuesto al ángulo γ   (Sigma)

Veamos un Ejemplo, nos  proporcionan la siguiente información:

Revisemos la información  que tenemos:
      Tenemos un ángulo β  equivalente a 25° 12 ' 42'', 
      por lo que tenemos que pasarlo a Grados; 
      aparte  conocemos el lado c = 7 cm. 
      Nos piden encontrar un ángulo y dos lados, 
      que son  los que desconocemos.

1. Comenzaremos a pasar los 25° 12 ' 42'' a Grados
                

2.Conociendo β, podemos conocer γ, ya que α = 90°, así:
                  

3.  Ahora, empezaremos a encontrar los lados que nos hacen falta,ya que conocemos γ, podemos encontrar el lado por medio de las funciones trigonométricas:

 Despejemos la Variable: c Sen 64.79 ° =



 
          
Aplicamos por medio de  la Calculadora La Función Seno de 64.79, que es :0.9047527, luego dividimos 7 ÷  0.9047527 = 7.73 = c.

4.Ahora conociendo el valor de c, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
                          
5.   Quedando finalmente la gráfica así:
                     

Angulos notables

Los angulos notables son 0° ; 30° ; 45° y 90°

Seno, coseno y tangente de los ángulos notables:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

El seno es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

El coseno es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

La tangente es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo

Sistemas de Conversion

Veamos un ejemplo:

      1. Lo describimos de la siguiente manera:

1.Lo que se hizo en éste primer paso,  fue convertir los radianes a grados multiplicando los ( 5 ¶ x 180 =  2827.4334) recordemos que se multiplica la función ¶ en la calculadora o ya que  sabemos que es equivalente a 3.1415927.

 Luego multiplicamos  los (22 x  ¶ = 69.115038). Ahora dividimos los resultados: 2827.4334  ÷ 69.115038, teniendo como respuesta 40.909091. No olvidar las  unidades equivalentes.  Aquí  contamos con  los 40 ° Grados.

2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. Así: Seleccionamos la parte decimal .909091 ° x 60 ' = 54.54

CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANES

Convertir  38 ° 15' 16 '' a Radianes

1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38°.

2. Pasamos los 16''  a Minuto

                     


 Ahora sumamos los 0.2666 minutos con  los 15 minutos que ya se tienen, Obteniendo 15.2666 minutos.

3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlo en segundos.

Sumamos los 38 ° + 0.2544 °, quedando 38.2544 °.

4.  Ya teniendo las cantidades en Grados,  procedemos a pasar los 38.2544 ° a 

Radianes.

 La respuesta es 0.6676 Radianes,  pero tenemos que pasarlo en función de ¶ Radianes, así que los  0.6676 Radianes  lo dividimos por el valor de   ¶.

Existen diferentes tipos de ángulos: 

Ángulo llano: mide 180º. 


Ángulo completo: mide 360º. 


Ángulo nulo: mide 0º. 


Ángulo recto: mide 90º. 


Ángulo agudo: mide menos de 90º. 


Ángulo obtuso: mide más de 90º.

Angulo convexo : Menor a 180° pero mayor que 90° 

Angulo concavo : Mide mas de 180° pero no mayor a 360°

Rectas notables de los triángulos 

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto

BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

 

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

 

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Trigonométria 

Es el estudio de los triángulos según sus lados y ángulos 

Triángulos  

Tipos

Los triángulos se clasifican según sus lados en: 

-Equilatero  (3 lados iguales) 

-Isósceles (2 lados iguales y uno desigual) 

-Escaleno (3 lados desiguales) 

Según sus ángulos :

triangulo acutángulo : Tres ángulos agudos

Triangulo rectángulo : Un ángulo recto. 

El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Triangulo obtusángulo : Un ángulo obtuso.